2018-10-04

几何原本

《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作，共13卷。这本著作是现代数学的基础，在西方是仅次于《圣经》而流传最广的书籍[1]

欧⼏⾥得（约前330—前275年），古希腊数学家，⼏何学的⿐祖，雅典⼈，柏拉图的学⽣。公
元前300年左右，在托勒密王的邀请下，欧⼏⾥得来到亚历⼭⼤，并长期在那⾥⼯作，建⽴了以他
为⾸的数学学派。他是⼀位温良憨厚的教育家。他总结了希腊数学成果，写成了⼗三卷的《⼏何原
本》，使⼏何学成为⼀门独⽴的学科。他对光学、天⽂学、英语也有研究，主张光的直线性观点。
有《数据》《图形分割》《论数学的伪结论》《光学之书》《反射学之书》等著作，对⾃然科学的
发展做出了极为重⼤的贡献。

(公设与定义→命題→证明)

背景

定义
公设(假设)，公设的自明的，即无需证明的事实
公理: 公理也是自明的
命题
-

详细介绍

欧⼏⾥得建⽴了⼈类历史第⼀座宏伟的演绎推理⼤厦，
利⽤很少的⾃明公理、定义，推演出四百余个命题，成为⼈类理性的丰碑

《⼏何原本》从少量“⾃明的”定义、公理出发，利⽤逻辑推理的⽅法，推演出整个⼏何体系，
选取少量的原始概念和不需证明的命题，作为定义、公设和公理，使它们成为整个体系的出发点和
逻辑依据，然后运⽤逻辑推理证明其他命题。

“欧⼏⾥得”成为⼏何学的代名词，并且⼈们把这种体系的⼏何学叫做欧⼏⾥得⼏何学。

《⼏何原本》对世界数学的贡献主要是：确⽴了数学的基本⽅法学。

建⽴了公理演绎体系，即⽤公理、公设和定义的推证⽅法。
将逻辑证明系统地引⼊数学中，确⽴了逻辑学的基本⽅法。
创造了⼏何证明的⽅法：分析法、综合法及归谬法。

本书共分13卷，开始于一系列定义，之后是5条公设、5条公理、119个定义和465个命题，构成历史上第⼀个数学公理体
系。

5条公设(基本假设)

两点定一线: 过两点可以作⼀条直线。
线段变直线: 直线可以向两端⽆限延伸。
圆心+半径得到圆: 以定点为圆⼼及定长的线段为半径可以作圆。
直角都相等: 凡直⾓都相等。
平行公设: 同平⾯内⼀条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内⾓之和⼩于180°，
则这两条直线经⽆限延长后在这⼀侧⼀定相交。
- 这就是著名的第五公设
- 等价于: 过直线外一点，有且只有一条平行线

前四个假设比较简单，

这是5条假设，是不能证明的。但是人们眼中怀疑第五条公理是可以证明的。
于是很多科学家希望通过前四个公理以及一些推导过程得到第五公理。持续上千年。

5条公理

《几何原本》中的公理亦共有5条：

等于同量的量相等。
等量加等量，其和相等。
等量减等量，其差相等。
能迭合的量一定相等。
整体大于部分。

公理 VS 公设

欧几里德是这样区分公理与公设的：
第一，公理适合于一切科学，而公设是几何所特有的；
第二，公理本身是自明的，公设没有公理那样自明，但也是不加证明而承认其真实性的。
时至今日，人们已不在区分公理与公设了，都用公理一词来表明。

罗氏几何

俄罗斯，罗巴切夫斯基，把第五公理改了

过直线外一点，有多条平行线

他希望通过更改后的第5公理与前四个公理得到矛盾，这样也能间接证明第五公理。

但是，发现与前四个公理并不矛盾。这说明第五公理是独立的，是不能通过前四个公理进行证明的。
他证明了第五公理不可证明，那第五公理本身也是假设。于是他把更改过的第五公理结合前四个公理，得出新的几何。称为罗氏几何。

黎曼几何

过直线外一点没有平行线。比如在球面上是成立的。

爱因斯坦的广义相对论为什么用黎曼几何或罗氏几何呢？因为空间是弯曲的。

例如在地球仪上，欧式几何就是错的。在航海学上就需要用黎曼几何？